Prediction Market Math
APPLIED PROBABILITY INSTITUTE // GLOSSÁRIO QUANTITATIVO

Glossário de Mercados de Previsão

Definições matemáticas fundamentadas, equações analíticas e exemplos práticos para 35 conceitos essenciais de probabilidade em derivativos binários.

Precificação de Contratos e Mecânica de AMM

(10)

Probabilidade Implícita

#
P_{implied} = P_m / \sum_{j=1}^n P_j

A probabilidade de ocorrência de um evento deduzida a partir do preço de equilíbrio de uma cota que paga $1,00 na resolução favorável.

Exemplo Prático: Uma ação Sim cotada a $0,63 expressa probabilidade consensual de mercado de exatamente 63,0%.

Título de Arrow-Debreu

#
\Phi(S_i) = \mathbf{1}_{\{S = S_i\}} \cdot \$1.00

Um contrato financeiro contingente que paga exatamente uma unidade monetária se um determinado estado da natureza ocorrer e zero caso contrário.

Exemplo Prático: Cotas de mercados preditivos são títulos puros de Arrow-Debreu que liquidam em $1,00 no acerto e $0,00 no erro.

Medida Neutra ao Risco (Medida Q)

#
P_t = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\Phi(S) \mid \mathcal{F}_t]

Medida de probabilidade estocástica sob a qual o preço descontado do ativo comporta-se como um martingale, igualando o preço ao retorno esperado.

Exemplo Prático: Com tempo residual nulo, o preço do contrato equivale à esperança matemática sob a medida Q: P_t = Q(Sim).

Formador de Mercado de Produto Constante (CPMM)

#
x \cdot y = k, \quad p_{Yes} = \frac{y}{x+y}

Algoritmo de formador automatizado que mantém o produto das reservas x e y constante, determinando o preço instantâneo pela razão de reservas.

Exemplo Prático: Pools do Polymarket utilizam CPMM para garantir que os preços marginais de Sim e Não somem sempre 1,00.

Regra de Pontuação de Mercado Logarítmica (LMSR)

#
C(\mathbf{q}) = b \ln\left(\sum_{i=1}^n e^{q_i / b}\right), \quad p_i = \frac{e^{q_i / b}}{\sum e^{q_j / b}}

Mecanismo de Robin Hanson com perda máxima limitada onde os preços são calculados pela função softmax sobre as cotas emitidas e parâmetro b.

Exemplo Prático: A LMSR assegura liquidez ilimitada para múltiplos resultados com prejuízo do operador estritamente limitado a b * ln(n).

Overround (Margem da Casa / Vig)

#
\text{Overround} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{d_i} - 1.000

Percentual pelo qual o somatório das probabilidades implícitas de uma operadora excede 100%, representando o lucro estrutural embutido.

Exemplo Prático: Cotas de 1,85 para ambos os lados somam 108,10%, cobrando uma margem de 8,10% sobre o apostador.

Modelo Teórico de Shin

#
\pi_i = \frac{\sqrt{z^2 + 4(1-z) \frac{P_i^2}{\sum P_k}} - z}{2(1-z)}

Modelo que prova que operadoras inflam a margem em zebras para se protegerem de negociadores informados com vantagens assimétricas.

Exemplo Prático: A normalização de Shin deduz probabilidades justas reais estimando a proporção de capital informado z no mercado.

Curva de Vinculação (Bonding Curve)

#
P(x) = f(x), \quad \text{Cost} = \int_0^{\Delta x} f(x) \, dx

Curva matemática determinística que define a relação funcional entre o suprimento emitido de tokens e o preço marginal de execução.

Exemplo Prático: As curvas de vinculação garantem liquidez perpétua sem dependência de livros de ordens centralizados.

Valor Esperado Discreto (EV)

#
\text{EV} = S \cdot \left[ \frac{p_{true} - P_m}{P_m} \right]

Retorno médio ponderado pelas probabilidades reais menos o capital alocado, quantificando a vantagem estatística (Edge).

Exemplo Prático: Comprar ações a $0,40 com probabilidade real de 50% entrega um EV positivo de +25,0% por unidade monetária.

Impacto de Preço e Deslizamento (Slippage)

#
P_{avg} = P_{spot} \cdot \left[ 1 + \frac{\Delta c}{2L} + \mathcal{O}\left(\frac{\Delta c^2}{L^2}\right) \right]

Distorção desfavorável no preço médio de execução induzida pelo consumo de liquidez ao longo da curva do formador de mercado.

Exemplo Prático: Alocar $50.000 em um pool de $200.000 desloca o preço de entrada de 50¢ para 56¢, reduzindo a vantagem teórica.

Arbitragem Entre Plataformas e Spreads

(7)

Arbitragem Sintética Entre Mercados

#
P_A(Yes) + P_B(No) < 1.000 - \gamma_{total}

Estratégia neutra a risco que adquire posições complementares em praças distintas quando a soma dos custos de entrada resulta em menos de $1,00.

Exemplo Prático: Comprar Sim a $0,46 na Plataforma A e Não a $0,48 na Plataforma B trava um lucro garantido de +7,53%.

Dimensionamento de Capital em Duas Pontas

#
S_A = C \cdot \frac{P_A}{P_A + P_B}, \quad S_B = C \cdot \frac{P_B}{P_A + P_B}

Fórmulas analíticas que equilibram os montantes financeiros alocados em cada perna para assegurar retorno terminal estritamente invariante.

Exemplo Prático: Com $10.000 de capital entre Sim a $0,40 e Não a $0,55, aloque $4.210,53 na Ponta A e $5.789,47 na Ponta B.

Spread Sintético Negativo

#
\text{Spread} = 1.000 - [ P_A(Yes) + P_B(No) ] > 0

Ineficiência temporária onde adquirir o conjunto completo de resultados custa menos que o valor garantido de resgate de $1,00.

Exemplo Prático: Um spread de +3,5% significa resgatar $1,035 garantidos para cada $1,000 alocado na operação combinada.

Risco de Perna Descoberta (Legging-In)

#
\Delta P_{\text{leg}} = P_B(t + \Delta t) - P_B(t)

Vulnerabilidade operacional decorrente do atraso temporal entre a execução da primeira perna e a confirmação da segunda perna de arbitragem.

Exemplo Prático: Uma latência de bloco na Ponta A permite que a cotação da Ponta B suba de 48¢ para 56¢, destruindo o lucro da operação.

Taxa Mínima de Fricção (Fee Hurdle Rate)

#
\gamma_{total} = \phi_{taker, A} + \phi_{taker, B} + \frac{\text{Gas}}{C} + \phi_{cashout}

O patamar mínimo de spread bruto necessário para cobrir corretagens, taxas de rede blockchain e custos de rebalanceamento.

Exemplo Prático: Com taxas de 2,0% e gás de 0,8%, o spread de arbitragem precisa superar 2,8% para viabilizar lucro líquido.

Ordem Tudo ou Nada (Fill-or-Kill - FOK)

#
\text{Order Condition} = \{ \text{Fill} \text{ if } V_{available} \ge V_{order} \text{ else } \text{Cancel} \}

Instrução de negociação que exige a execução integral e imediata da ordem, ou o seu cancelamento total instantâneo caso falte liquidez.

Exemplo Prático: Bots de arbitragem utilizam FOK para evitar preenchimentos parciais que deixariam posições descobertas.

Lei do Preço Único

#
P_A(E) = P_B(E) \quad \forall E \in \Omega

Princípio econômico que determina que ativos com fluxos de caixa idênticos em todos os estados devem ser negociados pelo mesmo preço em mercados eficientes.

Exemplo Prático: Quebras na Lei do Preço Único entre plataformas de previsão geram oportunidades recorrentes de arbitragem.

Dimensionamento de Kelly e Preservação de Capital

(7)

Critério de Kelly para Mercados Binários

#
f^* = \frac{p - P_m}{1 - P_m}

Fórmula matemática que calcula a fração ótima da banca a ser alocada em contratos binários para maximizar o crescimento composto de longo prazo.

Exemplo Prático: Para um contrato a $0,40 com probabilidade real de 55%, a fração ótima é (0,55 - 0,40) / 0,60 = 25,0% do capital.

Kelly Fracionário (Meio / Quarto de Kelly)

#
f_{\text{frac}} = c \cdot f^*, \quad c \in [0.25, 0.50]

Prática prudencial que reduz a fração teórica de Kelly por um multiplicador c para neutralizar erros de estimação probabilística.

Exemplo Prático: O Meio Kelly (c = 0,50) captura 75% do crescimento máximo possível com metade da volatilidade de carteira.

Utilidade Logarítmica

#
U(W) = \ln(W), \quad \mathbb{E}[U(W_T)] = \max_f \sum p_i \ln(1 + f \cdot R_i)

Função côncava de utilidade com aversão relativa ao risco constante (CRRA = 1), penalizando infinitamente a ruína financeira.

Exemplo Prático: A utilidade logarítmica atribui valor -inf ao saldo zero (ln(0) = -inf), inviabilizando estratégias com risco de falência.

Arrasto de Volatilidade (Volatility Drag)

#
R_{\text{geom}} \approx R_{\text{arith}} - \frac{\sigma^2}{2}

A perda na taxa geométrica de crescimento composta decorrente da variância dos retornos em uma sequência de operações.

Exemplo Prático: Um ganho de +50% seguido de perda de -50% resulta em média aritmética de 0%, mas perda patrimonial líquida de -25%.

Armadilha de Venda de Zebras (Fade Trap)

#
\text{Lock} = \$0.95, \quad \text{Yield} = +5.26\%, \quad \text{Tail Loss} = -100\%

A armadilha de capital de comprar cotas de Não cotadas a 3¢–5¢, congelando liquidez por rendimentos irrisórios sob risco de cauda severo.

Exemplo Prático: Comprar Não a $0,95 arrisca $10.000 para ganhar $526; um único cisne negro aniquila 19 vitórias consecutivas.

Probabilidade de Rebaixamento (Drawdown)

#
P(\text{Drawdown} \ge D) = (1 - D)^{2c - 1}

A probabilidade de uma banca sofrer uma contração de pelo menos D antes de dobrar de valor sob o parâmetro de Kelly fracionário c.

Exemplo Prático: No Kelly Pleno (c = 1,0), a chance de sofrer 50% de drawdown atinge 50,0%, enquanto o Meio Kelly reduz drasticamente essa exposição.

Dimensionamento por Matriz de Covariância

#
\max_{\mathbf{f}} \left[ \mathbf{f}^T \boldsymbol{\mu} - \frac{1}{2} \mathbf{f}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{f} \right] \quad \text{s.t.} \quad \sum f_i \le 1.0

Otimização multivariada de alocação de capital em mercados correlacionados considerando a matriz Sigma para evitar perdas conjuntas.

Exemplo Prático: Resultados de eleições em múltiplos distritos têm alta correlação (rho > 0,70), exigindo redução no tamanho conjunto das posições.

Pontuação de Brier e Calibração Empírica

(8)

Brier Score (Pontuação de Brier)

#
\text{BS} = \frac{1}{N} \sum_{t=1}^N (f_t - o_t)^2

Regra estritamente própria que afere o erro quadrático médio entre previsões probabilísticas f_t e desfechos binários reais o_t.

Exemplo Prático: Um previsor infalível obtém escore 0,000, enquanto palpites aleatórios de 50% obtêm 0,250.

Decomposição de Murphy

#
\text{BS} = \text{Reliability} - \text{Resolution} + \text{Uncertainty}

Identidade matemática que divide o Brier Score em três termos interpretáveis: Confiabilidade (erro de calibração), Resolução e Incerteza.

Exemplo Prático: A decomposição de Murphy comprova se o erro decorre de descalibração do mercado ou de aleatoriedade intrínseca dos eventos.

Confiabilidade (Erro de Calibração)

#
\text{Reliability} = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^K n_k (f_k - o_k)^2

Termo da decomposição de Murphy que afere a aderência entre as frequências reais e as probabilidades estimadas nos decis.

Exemplo Prático: Em um mercado calibrado, eventos cotados a 70% vencem em 70% dos casos, zerando a penalidade de confiabilidade.

Resolução (Poder Discriminativo)

#
\text{Resolution} = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^K n_k (o_k - \bar{o})^2

Métrica que quantifica a capacidade do modelo em discriminar subgrupos cujas taxas divergem fortemente da média histórica basal.

Exemplo Prático: Uma Resolução mais alta subtrai do Brier Score, demonstrando previsões informativas e assertivas.

Incerteza (Entropia Basal)

#
\text{Uncertainty} = \bar{o}(1 - \bar{o})

A variância ambiental irredutível do espaço de eventos, atingindo o máximo de 0,250 quando a taxa basal histórica é de 50%.

Exemplo Prático: A incerteza depende puramente da natureza dos eventos e não pode ser diminuída pela habilidade do previsor.

Viés Favorito-Zebra (Favorite-Longshot Bias)

#
P_m(E_{\text{rare}}) > p_{\text{true}}(E_{\text{rare}}), \quad P_m(E_{\text{fav}}) < p_{\text{true}}(E_{\text{fav}})

Distorção empírica onde eventos remotos são transacionados com sobrepreço enquanto favoritos consolidados são subavaliados.

Exemplo Prático: Cotas a 3¢ liquidam em vitória em apenas 1,2% dos casos, enquanto cotas a 92¢ vencem em 95,8% das vezes.

Log-Loss (Entropia Cruzada)

#
\text{LogLoss} = -\frac{1}{N} \sum_{t=1}^N [ o_t \ln(f_t) + (1 - o_t) \ln(1 - f_t) ]

Regra de pontuação estritamente própria que penaliza assintoticamente previsões sobreconfiantes que se revelam incorretas.

Exemplo Prático: Cotar um evento em 99,9% que depois resulta em derrota impõe penalidade severa de -ln(0,001) = 6,908.

Divergência de Kullback-Leibler (KL)

#
D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_{x} P(x) \ln\left( \frac{P(x)}{Q(x)} \right)

Mensuração da perda de informação estatística ao aproximar a distribuição empírica real P pela distribuição de mercado Q.

Exemplo Prático: Minimizar a divergência de KL entre modelos proprietários e preços de mercado maximiza a taxa composta de Kelly.

Oráculos, Liquidação e Riscos Operacionais

(3)

Arquitetura de Oráculo Otimista

#
\text{State} = \{ \text{Proposed} \to \text{Dispute Window } \Delta t \to \text{Finalized} \}

Mecanismo fundamentado em teoria dos jogos onde desfechos propostos são aceitos como verdadeiros a menos que contestados sob depósito colateral.

Exemplo Prático: O protocolo UMA permite propor a resolução de um mercado, consolidando o resultado em 2 horas se não houver contestação.

Votação de Disputas do Protocolo UMA

#
\text{Voting Result} = \text{Mode}\left( \{ v_i \cdot w_i \} \right), \quad w_i = \text{Token Weight}

Mecanismo de consenso de Ponto de Schelling onde detentores de tokens votam para decidir desfechos controversos, recompensando o consenso majoritário.

Exemplo Prático: Em disputas no Polymarket, votantes do token UMA determinam a verdade canônica final através de votação criptográfica.

Ambiguidade Semântica de Liquidação

#
\mathcal{S}(E) = \{ s \in \Omega \mid \text{Text}(E) \text{ is ungrounded} \}

Risco sistêmico verificado quando as regras contratuais contêm ambiguidades linguísticas diante de cenários de fronteira imprevistos.

Exemplo Prático: Um mercado sobre renúncia política gera litígio caso o anúncio ocorra no prazo, mas a efetivação formal ocorra no dia seguinte.